Упр.1595 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$n$$, большем 1, верно неравенство $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=2$$ имеем

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}>\frac{13}{24}.$$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{k+k}>\frac{13}{24}.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2}$$

Сумма для $$k+1$$ равна сумме для $$k$$ без первого слагаемого и с добавлением нового последнего:

$$\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}\right)-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}.$$

По предположению индукции

$$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2} >\frac{13}{24}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{13}{24}.$$

Тогда

$$-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = -\frac{1}{k+1}+\frac{4k+3}{(2k+1)(2k+2)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$-\frac{1}{k+1}+\frac{4k+3}{(2k+1)(2k+2)} = \frac{(4k+3)(k+1)-(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(2k+1)(2k+2)}.$$

Числитель равен

$$(4k+3)(k+1)-(2k+1)(2k+2) =4k^2+7k+3-(4k^2+6k+2)=k+1.$$

Значит,

$$-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = \frac{k+1}{(k+1)(2k+1)(2k+2)} = \frac{1}{(2k+1)(2k+2)} > 0.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2}>\frac{13}{24}.$$

Итак, неравенство верно при $$n=2$$ и сохраняется при переходе от $$n=k$$ к $$n=k+1$$. Значит, оно верно для любого натурального $$n>1$$.

Ответ

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}$$
при любом натуральном $$n>1$$.