Упр.1595 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1595. Докажите, что при любом натуральном n, большем 1, верно неравенство 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(n+n) > 13/24.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=2$$ имеем

$$ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}>\frac{13}{24}. $$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$ \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{k+k}>\frac{13}{24}. $$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2} $$

Сумма для $$k+1$$ равна сумме для $$k$$ без первого слагаемого и с добавлением нового последнего:

$$ \left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}\right)-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}. $$

По предположению индукции

$$ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2} >\frac{13}{24}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{13}{24}. $$

Тогда

$$ -\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = -\frac{1}{k+1}+\frac{4k+3}{(2k+1)(2k+2)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ -\frac{1}{k+1}+\frac{4k+3}{(2k+1)(2k+2)} = \frac{(4k+3)(k+1)-(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(2k+1)(2k+2)}. $$

Числитель равен

$$ (4k+3)(k+1)-(2k+1)(2k+2) =4k^2+7k+3-(4k^2+6k+2)=k+1. $$

Значит,

$$ -\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = \frac{k+1}{(k+1)(2k+1)(2k+2)} = \frac{1}{(2k+1)(2k+2)} > 0. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2}>\frac{13}{24}. $$

Итак, неравенство верно при $$n=2$$ и сохраняется при переходе от $$n=k$$ к $$n=k+1$$. Значит, оно верно для любого натурального $$n>1$$.

Ответ

$$ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24} $$
при любом натуральном $$n>1$$.