Упр.1592 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1592. В бесконечной геометрической прогрессии выделяют по порядку от её начала группы по n членов. Докажите, что суммы членов этих групп образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q$$. Тогда её члены имеют вид

$$b_k=b_1q^{k-1}.$$

Составим сумму членов $$t$$-й группы, содержащей по $$n$$ членов. Это сумма членов с номерами от $$n(t-1)+1$$ до $$nt$$:

$$ S_t=b_{n(t-1)+1}+b_{n(t-1)+2}+\dots+b_{nt}. $$

Так как это сумма $$n$$ последовательных членов геометрической прогрессии, то

$$ S_t=\frac{b_{n(t-1)+1}(q^n-1)}{q-1}. $$

Подставим $$b_{n(t-1)+1}=b_1q^{n(t-1)}$$:

$$ S_t=\frac{b_1q^{n(t-1)}(q^n-1)}{q-1}. $$

Аналогично для следующей группы:

$$ S_{t+1}=\frac{b_1q^{nt}(q^n-1)}{q-1}. $$

Найдём отношение соседних сумм:

$$ \frac{S_{t+1}}{S_t}= \frac{\frac{b_1q^{nt}(q^n-1)}{q-1}}{\frac{b_1q^{n(t-1)}(q^n-1)}{q-1}} = q^n. $$

Отношение соседних членов постоянно и равно $$q^n$$, значит, суммы групп образуют геометрическую прогрессию.

Ответ

Суммы членов групп образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q^n$$.