Упр.1589 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1589. Найдите сумму первых n членов последовательности 2, 22, 222, …, 22…2{n раз}, … .

Обозначим сумму первых $$n$$ членов последовательности через $$S_n$$:

$$S_n=2+22+222+\dots+\underbrace{22\dots2}_{n\text{ раз}}.$$

Умножим это равенство на $$10$$:

$$10S_n=20+220+2220+\dots+\underbrace{22\dots20}_{n\text{ раз}}.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$10S_n-S_n=20+220+2220+\dots+\underbrace{22\dots20}_{n\text{ раз}}-\left(2+22+222+\dots+\underbrace{22\dots2}_{n\text{ раз}}\right).$$

Получаем:

$$9S_n=\underbrace{20+20+20+\dots+20}_{n\text{ раз}}=20(10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+10+1)-2n.$$

Сумма в скобках — геометрическая прогрессия:

$$10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+10+1=\frac{10^n-1}{9}.$$

Тогда

$$9S_n=20\cdot\frac{10^n-1}{9}-2n.$$

Умножим на $$9$$:

$$81S_n=20(10^n-1)-18n.$$

Следовательно,

$$S_n=\frac{20(10^n-1)-18n}{81}.$$

Ответ

$$\frac{20(10^n-1)-18n}{81}$$