Упр.1588 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Известно, что $$f(x)$$ — линейная функция, а последовательность $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \ldots$$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots, f(x_n), \ldots$$ также является арифметической прогрессией.

Пусть линейная функция имеет вид $$f(x)=kx+b.$$

Так как $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \ldots$$ — арифметическая прогрессия, то разность соседних членов постоянна:

$$x_{n+1}-x_n=d.$$

Рассмотрим последовательность значений функции:

$$f(x_1),\ f(x_2),\ f(x_3),\ \ldots,\ f(x_n),\ \ldots$$

Найдём разность соседних членов этой последовательности:

$$f(x_{n+1})-f(x_n)=(kx_{n+1}+b)-(kx_n+b)=k(x_{n+1}-x_n).$$

Так как $$x_{n+1}-x_n=d,$$ получаем

$$f(x_{n+1})-f(x_n)=kd.$$

Эта разность не зависит от номера $$n,$$ значит, последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots$$ является арифметической прогрессией.

Ответ

Последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots$$ — арифметическая прогрессия, так как разность её соседних членов равна $$kd$$ и постоянна.