Упр.1587 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1587. Докажите, что если квадраты сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то треугольник, сторонами которого являются медианы данного треугольника, подобен данному.

Пусть стороны треугольника равны $$a^2,\; b^2,\; c^2,$$ причём они образуют арифметическую прогрессию. Тогда

$$b^2-a^2=c^2-b^2,$$

откуда

$$c^2=2b^2-a^2,\qquad a^2=2b^2-c^2.$$

Найдём длины медиан по формуле

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},\qquad m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},\qquad m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$

Подставим выражения для $a^2,\; b^2,\; c^2$:

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac12\sqrt{3c^2}=\frac{\sqrt3}{2}c,$$

$$m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\frac12\sqrt{3b^2}=\frac{\sqrt3}{2}b,$$

$$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{3a^2}=\frac{\sqrt3}{2}a.$$

Следовательно, стороны треугольника, составленного из медиан, пропорциональны сторонам исходного треугольника:

$$m_a:m_b:m_c=c:b:a.$$

Значит, этот треугольник подобен данному.

Ответ

Треугольник, сторонами которого являются медианы данного треугольника, подобен данному.