Упр.1586 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1586. Три различных целых числа, сумма которых равна —3, составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть три различных целых числа, образующих геометрическую прогрессию, равны $$b_1,\; b_2,\; b_3.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2,$$

и по условию

$$b_1+b_2+b_3=-3.$$

Подставим выражения через знаменатель прогрессии:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=-3,$$

$$b_1(1+q+q^2)=-3.$$

Так как числа целые, рассмотрим возможные значения первого члена. Из равенства

$$q^2+q+1+\frac{3}{b_1}=0$$

следует, что дискриминант по $$q$$ должен быть неотрицательным:

$$D=1-4\left(1+\frac{3}{b_1}\right)=-3-\frac{12}{b_1}\ge 0.$$

Отсюда

$$-\frac{12}{b_1}\ge 3,$$

и, учитывая, что $$b_1$$ — целое число, получаем возможные значения:

$$b_1=-4,\,-3,\,-2,\,-1.$$

Проверим их.

1) Если $$b_1=-4,$$ то

$$q^2+q+1-\frac{3}{4}=0,$$

$$q^2+q+\frac14=0,$$

$$\left(q+\frac12\right)^2=0,\qquad q=-\frac12.$$

Тогда

$$b_2=b_1q=2,\qquad b_3=b_1q^2=-1.$$

Получаем числа $$-4,\;2,\;-1.$$

2) Если $$b_1=-3,$$ то

$$q^2+q=0,$$

$$q(q+1)=0,$$

откуда $$q=0$$ или $$q=-1.$$

При $$q=0$$ прогрессия имеет вид $$-3,\;0,\;0,$$ числа не различны. При $$q=-1$$ получаем $$-3,\;3,\;-3,$$ тоже не подходят.

3) Если $$b_1=-2,$$ то

$$q^2+q-\frac12=0,$$

дискриминант равен

$$D=1+2=3,$$

и целых значений $$q$$ нет.

4) Если $$b_1=-1,$$ то

$$q^2+q-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$q_1=-2,\qquad q_2=1.$$

При $$q=-2$$ получаем

$$b_2=2,\qquad b_3=-4,$$

то есть числа $$-1,\;2,\;-4.$$

При $$q=1$$ все три числа равны $$-1,$$ что не подходит.

Итак, подходят две перестановки одних и тех же чисел: $$-4,\;2,\;-1$$ и $$-1,\;2,\;-4.$$

Ответ

$$-4,\;2,\;-1$$