Упр.1585 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Пусть $$(x_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$x_p=a$$, $$x_m=b$$, $$x_k=c$$. Докажите, что $$(m-k)a+(k-p)b+(p-m)c=0$$.

Так как $$x_n$$ — арифметическая прогрессия, то для некоторого числа $$d$$

$$x_n=x_1+(n-1)d.$$

Тогда

$$x_p=x_1+(p-1)d=a,$$

$$x_m=x_1+(m-1)d=b,$$

$$x_k=x_1+(k-1)d=c.$$

Вычтем попарно:

$$b-c=(m-k)d,$$

$$c-a=(k-p)d,$$

$$a-b=(p-m)d.$$

Теперь рассмотрим выражение:

$$(m-k)a+(k-p)b+(p-m)c$$

Подставим вместо разностей их выражения через $$d$$:

$$(m-k)a+(k-p)b+(p-m)c = (b-c)a+(c-a)b+(a-b)c.$$

Раскроем скобки:

$$ba-ca+cb-ab+ac-bc=0.$$

Следовательно,

$$(m-k)a+(k-p)b+(p-m)c=0.$$

Ответ

$$(m-k)a+(k-p)b+(p-m)c=0$$