Упр.1584 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1584. В арифметической прогрессии, составленной из четырёх целых чисел, больший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Пусть четыре члена арифметической прогрессии — это $$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d.$$

По условию больший член равен сумме квадратов остальных трёх, значит

$$a+3d=a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a+3d=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+4ad+4d^2,$$

$$a+3d=3a^2+6ad+5d^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3a^2+(6d-1)a+5d^2-3d=0.$$

Так как числа целые, то и разность $$d$$ — целое число. Рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения относительно $$a$$:

$$D=(6d-1)^2-4\cdot 3\cdot(5d^2-3d).$$

$$D=36d^2-12d+1-60d^2+36d=-24d^2+24d+1.$$

Чтобы уравнение имело целые решения, нужно, чтобы $$D\ge 0$$. Проверим целые значения $$d$$:

$$d=0 \Rightarrow D=1,$$

$$d=1 \Rightarrow D=1,$$

$$d=2 \Rightarrow D=-23<0.$$

Значит, подходят только $$d=0$$ и $$d=1$$.

1) При $$d=0$$:

$$a=a^2+a^2+a^2=3a^2,$$

$$3a^2-a=0,$$

$$a(3a-1)=0.$$

Так как числа целые, получаем $$a=0$$. Тогда прогрессия:

$$0,\ 0,\ 0,\ 0.$$

2) При $$d=1$$:

$$a+3=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2,$$

$$3a^2+5a+2=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot 2=1,$$

$$a=\frac{-5\pm 1}{6}.$$

Отсюда $$a=-1$$ или $$a=-\frac23$$. Целое значение даёт только $$a=-1$$. Тогда прогрессия:

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2.$$

Если записывать прогрессию в обратном порядке, получаем также

$$2,\ 1,\ 0,\ -1.$$

Ответ

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2$$ или $$2,\ 1,\ 0,\ -1.$$