Упр.1583 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x+y=a, x/(b-y)+(b-y)/x=5/2}; б) {ax+b/y=2, b/x+ay=2ab}.

а) Обозначим

$$z=\frac{x}{b-y}.$$

Тогда из второго уравнения получаем

$$z+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2z$$:

$$2z^2-5z+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad z_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1) Если $$\frac{x}{b-y}=\frac12,$$ то

$$2x=b-y,$$

а так как $$x+y=a,$$ то $$y=a-x.$$ Подставим:

$$2x=b-a+x,$$

$$x=b-a,\qquad y=2a-b.$$

2) Если $$\frac{x}{b-y}=2,$$ то

$$x=2b-2y,$$

а из $$x+y=a$$ имеем $$x=a-y.$$ Тогда

$$a-y=2b-2y,$$

$$y=2b-a,\qquad x=2a-2b.$$

Проверка условий существования дробей даёт: при $$a=b$$ решений нет.

б) Перепишем систему:

$$ax+\frac{b}{y}=2,\qquad \frac{b}{x}+ay=2ab.$$

Умножим первое уравнение на $$y$$, второе — на $$x$$:

$$axy+b=2y,$$

$$b+axy=2abx.$$

Из равенства левых частей следует

$$2y=2abx,$$

$$y=abx.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ax+b\cdot\frac{1}{abx}=2,$$

удобнее сразу использовать $$y=abx$$:

$$ax\cdot abx+b=2abx,$$

$$a^2bx^2-2abx+b=0.$$

Если $$ab\ne 0,$$ то делим на $$b$$ и получаем

$$a^2x^2-2ax+1=0,$$

$$\left(ax-1\right)^2=0,$$

$$x=\frac1a,\qquad y=b.$$

При $$ab=0$$ решений нет.

Ответ

а) $$\left(b-a;\,2a-b\right),\ \left(2a-2b;\,2b-a\right),$$ при $$a\ne b$$; при $$a=b$$ решений нет.

б) $$\left(\frac1a;\,b\right),$$ при $$ab\ne 0$$; при $$ab=0$$ решений нет.