Упр.1582 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {1+xy/(a+1)=a^2, x+y=ay}; б) {(x-y)/(a+1)-a=0, x-y^2=0}.
а) Из второго уравнения получаем
$$x+y=ay \Rightarrow x=y(a-1).$$
Подставим это в первое уравнение:
$$1+\frac{xy}{a+1}=a^2,$$
$$1+\frac{y\cdot y(a-1)}{a+1}=a^2,$$
$$\frac{y^2(a-1)}{a+1}=a^2-1.$$
Если $$a\neq \pm 1,$$ то
$$y^2=\frac{(a^2-1)(a+1)}{a-1}=(a+1)^2,$$
откуда
$$y=\pm(a+1).$$
Тогда
$$x=y(a-1),$$
и получаем пары:
$$x=a^2-1,\ y=a+1$$
или
$$x=1-a^2,\ y=-(a+1).$$
При $$a=1$$ система принимает вид
$$1+\frac{xy}{2}=1,\quad x+y=y,$$
то есть
$$xy=0,\quad x=0.$$
Следовательно, $$x=0$$, а $$y$$ — любое число.
При $$a=-1$$ первое уравнение не имеет смысла, поэтому решений нет.
б) Из второго уравнения имеем
$$x=y^2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{x-y}{a+1}-a=0 \Rightarrow \frac{y^2-y}{a+1}=a.$$
Тогда
$$y^2-y=a(a+1),$$
$$y^2-y-a^2-a=0.$$
Дискриминант:
$$D=1+4(a^2+a)=(2a+1)^2.$$
Следовательно,
$$y_{1,2}=\frac{1\pm(2a+1)}{2},$$
то есть
$$y_1=-a,\qquad y_2=a+1.$$
Тогда
$$x_1=y_1^2=a^2,\qquad x_2=y_2^2=(a+1)^2.$$
При $$a=-1$$ первое уравнение не определено, поэтому решений нет.
Ответ
а) $$\left(a^2-1,\ a+1\right),\ \left(1-a^2,\ -(a+1)\right)$$ при $$a\neq \pm1$$; $$\left(0,\ k\right),\ k\in\mathbb R$$ при $$a=1$$; решений нет при $$a=-1$$.
б) $$\left(a^2,\ -a\right),\ \left((a+1)^2,\ a+1\right)$$ при $$a\neq -1$$; решений нет при $$a=-1$$.
