Упр.1581 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x+y+z=9, 1/x+1/y+1/z=1, xy+xz+yz=27};
б) {x^2+y^2-2z^2=0, x+y+z=8, xy=-z^2}.

а) Из первого уравнения имеем

$$x+y=9-z.$$

Из второго уравнения:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1,$$

$$\frac{xy+xz+yz}{xyz}=1.$$

Так как $$xy+xz+yz=27,$$ то

$$\frac{27}{xyz}=1,$$

откуда

$$xyz=27.$$

Тогда из третьего уравнения

$$xy+xz+yz=27$$

получаем

$$\frac{27}{z}+z(x+y)=27.$$

Подставим $$x+y=9-z$$:

$$\frac{27}{z}+z(9-z)=27.$$

Умножим на $$z$$:

$$27+9z^2-z^3=27z.$$

$$z^3-9z^2+27z-27=0,$$

$$\left(z-3\right)^3=0,$$

$$z=3.$$

Тогда

$$x+y=6,\qquad xy=9.$$

Следовательно, $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-6t+9=0,$$

$$\left(t-3\right)^2=0,$$

откуда $$x=3,\ y=3.$$

б) Из первого уравнения:

$$x^2+y^2-2z^2=0.$$

Так как $$xy=-z^2,$$ то

$$x^2+y^2+2xy=0,$$

$$\left(x+y\right)^2=0,$$

$$x+y=0,$$

$$y=-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x+y+z=8,$$

$$z=8.$$

Теперь из третьего уравнения:

$$xy=-z^2=-64.$$

Но $$y=-x,$$ значит

$$x(-x)=-64,$$

$$x^2=64,$$

$$x=\pm 8.$$

Тогда $$y=\mp 8.$$

Ответ

а) $$\left(3;\,3;\,3\right)$$;

б) $$\left(-8;\,8;\,8\right),\ \left(8;\,-8;\,8\right).$$