Упр.1580 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющие системе $$\begin{cases}x+y+z=14,\\x+yz=19.\end{cases}$$

Из системы

$$\begin{cases} x+y+z=14,\\ x+yz=19 \end{cases}$$

вычтем первое уравнение из второго:

$$(x+yz)-(x+y+z)=19-14,$$

откуда

$$yz-y-z=5.$$

Перенесём слагаемые:

$$z(y-1)-y=5,$$

то есть

$$z(y-1)=(y-1)+6.$$

Обозначим $$n=y-1$$. Тогда

$$zn=n+6,$$

и значит

$$z=\frac{n+6}{n}=1+\frac{6}{n}.$$

Так как $$y$$ — натуральное число, то $$n=y-1$$ тоже натуральное. Следовательно, $$n$$ должно быть делителем числа $$6$$. Получаем возможные значения:

$$n=1,2,3,6.$$

Тогда:

• $$n=1$$, $$y=2$$, $$z=7$$, $$x=14-2-7=5$$;
• $$n=2$$, $$y=3$$, $$z=4$$, $$x=14-3-4=7$$;
• $$n=3$$, $$y=4$$, $$z=3$$, $$x=14-4-3=7$$;
• $$n=6$$, $$y=7$$, $$z=2$$, $$x=14-7-2=5$$.

Все найденные тройки удовлетворяют системе.

Ответ

$$(5;2;7),\ (7;3;4),\ (7;4;3),\ (5;7;2)$$