Упр.1579 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) {((x-2y)/(x+2y))^3+(x-2y)/(x+2y)=10, x^2-7xy+3y^2=81};
б) {x^2/y+y^2/x=12, 1/x+1/y=1/3}.

Подробный ответ

а) Обозначим
$$z=\frac{x-2y}{x+2y}.$$
Тогда первое уравнение системы принимает вид
$$z^3+z=10,$$
то есть
$$z^3+z-10=0.$$
Проверяем целый корень: $$z=2$$.
Тогда
$$z^3+z-10=(z-2)(z^2+2z+5)=0,$$
откуда действительный корень только один:
$$z=2.$$
Следовательно,
$$\frac{x-2y}{x+2y}=2,$$
$$x-2y=2x+4y,$$
$$x=-6y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-7xy+3y^2=81,$$
$$36y^2-7(-6y)y+3y^2=81,$$
$$36y^2+42y^2+3y^2=81,$$
$$81y^2=81,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=-6y,$$
откуда получаем пары:
$$(-6;1),\ (6;-1).$$
б) Обозначим
$$a=x+y,\qquad b=xy.$$
Тогда
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{a}{b}=\frac13,$$
значит
$$b=3a.$$
Первое уравнение преобразуем так:
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12,$$
$$\frac{x^3+y^3}{xy}=12,$$
$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12.$$
Так как $$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=a^2-3b,$$ то
$$\frac{a(a^2-3b)}{b}=12,$$
$$a^3-3ab=12b.$$
Подставим $$b=3a$$:
$$a^3-9a^2=36a,$$
$$a^3-9a^2-36a=0,$$
$$a(a^2-9a-36)=0.$$
Так как $$a=x+y\neq 0$$, получаем
$$a^2-9a-36=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$
$$a_{1,2}=\frac{9\pm 15}{2}.$$
Отсюда
$$a_1=-3,\qquad a_2=12.$$
Тогда
$$b_1=3a_1=-9,\qquad b_2=3a_2=36.$$
1) Если $$x+y=-3,\ xy=-9,$$ то числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2+3t-9=0.$$
Следовательно,
$$t=\frac{-3\pm 3\sqrt5}{2}.$$
Значит,
$$\left(\frac{-3+3\sqrt5}{2};\frac{-3-3\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{-3-3\sqrt5}{2};\frac{-3+3\sqrt5}{2}\right).$$
2) Если $$x+y=12,\ xy=36,$$ то
$$t^2-12t+36=0,$$
$$t=6,$$
поэтому
$$x=6,\ y=6.$$