Упр.1578 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1578. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Пусть $$x$$ и $$y$$ — цифры двузначного числа. Тогда само число равно $$10x+y$$.

По условию при делении на сумму квадратов цифр получаем частное 2 и остаток 6, значит

$$10x+y=2(x^2+y^2)+6.$$

При делении на произведение цифр получаем частное 4 и остаток 6, значит

$$10x+y=4xy+6.$$

Приравняем правые части:

$$2(x^2+y^2)+6=4xy+6,$$

$$2x^2+2y^2=4xy,$$

$$x^2-2xy+y^2=0,$$

$$ (x-y)^2=0,$$

откуда $$x=y.$$

Тогда из второго равенства:

$$10x+x=4x^2+6,$$

$$11x=4x^2+6,$$

$$4x^2-11x+6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=11^2-4\cdot 4\cdot 6=121-96=25,$$

$$x=\frac{11\pm 5}{8}.$$

Получаем:

$$x=2$$ или $$x=\frac{3}{4}.$$

Так как $$x$$ — цифра, подходит только $$x=2$$. Тогда $$y=2$$, и число равно $$22$$.

Проверим первое условие:

$$22: (2^2+2^2)=22:8,$$

частное не равно 2, значит найденное значение не подходит.

Следовательно, такого двузначного числа не существует.

Ответ

Не существует.