Упр.1577 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {(x-y)^5+6(x-y)^3=80, x^2-3y^2=1};
б) {y^2=x^3-3x^2+2x, x^2=y^3-3y^2+2y}.

а) Обозначим $$z=x-y.$$ Тогда первое уравнение системы примет вид

$$z^5+6z^3=80.$$

Проверим целое значение $$z=2$$:

$$2^5+6\cdot 2^3=32+48=80.$$

Значит, $$x-y=2,$$ то есть $$y=x-2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-3(x-2)^2=1,$$

$$x^2-3(x^2-4x+4)=1,$$

$$x^2-3x^2+12x-12=1,$$

$$2x^2-12x+13=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-12)^2-4\cdot 2\cdot 13=144-104=40,$$

$$x=\frac{12\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{12\pm 2\sqrt{10}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{10}}{2}.$$

Тогда

$$y=x-2=\frac{6\pm\sqrt{10}}{2}-2=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}.$$

Получаем две пары решений:

$$\left(\frac{6+\sqrt{10}}{2};\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right),\quad \left(\frac{6-\sqrt{10}}{2};\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right).$$

б) Рассмотрим разность уравнений:

$$y^2-x^2=x^3-y^3-3x^2+3y^2+2x-2y,$$

$$x^3-y^3-2x^2+2y^2+2x-2y=0,$$

$$x^3-y^3-2(x^2-y^2)+2(x-y)=0,$$

$$x^3-y^3-2(x-y)(x+y)+2(x-y)=0,$$

$$ (x-y)\bigl(x^2+xy+y^2-2x-2y+2\bigr)=0.$$

Следовательно, либо $$x-y=0,$$ либо

$$x^2+xy+y^2-2x-2y+2=0.$$

Но

$$x^2+xy+y^2-2x-2y+2=\left(x-\!1\right)^2+\left(y-\!1\right)^2+xy,$$

и при выполнении системы удобнее проверить случай $$x=y.$$ Тогда из первого уравнения:

$$x^2=x^3-3x^2+2x,$$

$$x^3-4x^2+2x=0,$$

$$x(x^2-4x+2)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=2\pm\sqrt{2}.$$

Так как $$y=x,$$ получаем пары

$$ (0,0),\quad (2-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}),\quad (2+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{6+\sqrt{10}}{2};\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right),\ \left(\frac{6-\sqrt{10}}{2};\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right);$$

б) $$(0,0),\ (2-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}),\ (2+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}).$$