Упр.1576 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {(x+y)(x^2-y^2)=9, (x-y)(x^2+y^2)=5};
б) {(x^2+1)(y^2+1)=10, (x+y)(xy-1)=3}.

а) Обозначим:

$$ A=x+y,\qquad B=x-y. $$
Тогда
$$ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=AB, $$
$$ x^2+y^2=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}=\frac{A^2+B^2}{2}. $$
Система принимает вид
$$ \begin{cases} A\cdot AB=9,\\ B\cdot \dfrac{A^2+B^2}{2}=5. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} A^2B=9,\\ B(A^2+B^2)=10. \end{cases} $$
Из первого уравнения
$$ A^2=\frac{9}{B}. $$
Подставим во второе:
$$ B\left(\frac{9}{B}+B^2\right)=10, $$
$$ 9+B^3=10, $$
$$ B^3=1, $$
$$ B=1. $$
Тогда
$$ A^2=9,\qquad A=\pm 3. $$
Если $$A=3,$$ то
$$ x+y=3,\qquad x-y=1, $$
откуда
$$ x=2,\ y=1. $$
Если $$A=-3,$$ то
$$ x+y=-3,\qquad x-y=1, $$
откуда
$$ x=-1,\ y=-2. $$

б) Введём обозначения:

$$ a=x+y,\qquad b=xy. $$
Тогда
$$ x^2+y^2=a^2-2b. $$
Первое уравнение системы:
$$ (x^2+1)(y^2+1)=10 $$
преобразуем:
$$ x^2y^2+x^2+y^2+1=10, $$
$$ b^2+(a^2-2b)+1=10, $$
$$ b^2+a^2-2b-9=0. $$
Второе уравнение:
$$ (x+y)(xy-1)=3 $$
даёт
$$ a(b-1)=3, $$
$$ a=\frac{3}{b-1}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ b^2+\frac{9}{(b-1)^2}-2b-9=0. $$
Умножим на $$(b-1)^2$$:
$$ b^2(b-1)^2+9-(2b+9)(b-1)^2=0. $$
После раскрытия скобок получаем:
$$ b^4-4b^3-4b^2+16=0, $$
$$ (b+2)b(b-2)(b-4)=0. $$
Значит,
$$ b=-2,\ 0,\ 2,\ 4. $$
Найдём соответствующие значения $$a$$:
$$ b=-2 \Rightarrow a=\frac{3}{-3}=-1; $$
$$ b=0 \Rightarrow a=\frac{3}{-1}=-3; $$
$$ b=2 \Rightarrow a=\frac{3}{1}=3; $$
$$ b=4 \Rightarrow a=\frac{3}{3}=1. $$

Теперь решаем уравнения
$$ x+y=a,\qquad xy=b. $$

1) При $$a=-1,\ b=-2$$:
$$ t^2+ t-2=0, $$
$$ t=1,\ -2. $$
Получаем пары $$ (1,-2),\ (-2,1).$$

2) При $$a=-3,\ b=0$$:
$$ t^2+3t=0, $$
$$ t=0,\ -3. $$
Получаем пары $$ (0,-3),\ (-3,0).$$

3) При $$a=3,\ b=2$$:
$$ t^2-3t+2=0, $$
$$ t=1,\ 2. $$
Получаем пары $$ (1,2),\ (2,1).$$

4) При $$a=1,\ b=4$$:
$$ t^2-t+4=0, $$
$$ D=1-16=-15<0, $$ действительных решений нет.

Ответ

а) $$(-1;\,-2),\ (2;\,1)$$;
б) $$(1;\,-2),\ (-2;\,1),\ (0;\,-3),\ (-3;\,0),\ (1;\,2),\ (2;\,1).$$