Упр.1576 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases}(x+y)(x^2-y^2)=9,\\(x-y)(x^2+y^2)=5;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}(x^2+1)(y^2+1)=10,\\(x+y)(xy-1)=3.\end{cases}$$

а) Обозначим:

$$A=x+y,\qquad B=x-y.$$
Тогда
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=AB,$$
$$x^2+y^2=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}=\frac{A^2+B^2}{2}.$$
Система принимает вид
$$\begin{cases} A\cdot AB=9,\\ B\cdot \dfrac{A^2+B^2}{2}=5. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} A^2B=9,\\ B(A^2+B^2)=10. \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$A^2=\frac{9}{B}.$$
Подставим во второе:
$$B\left(\frac{9}{B}+B^2\right)=10,$$
$$9+B^3=10,$$
$$B^3=1,$$
$$B=1.$$
Тогда
$$A^2=9,\qquad A=\pm 3.$$
Если $$A=3,$$ то
$$x+y=3,\qquad x-y=1,$$
откуда
$$x=2,\ y=1.$$
Если $$A=-3,$$ то
$$x+y=-3,\qquad x-y=1,$$
откуда
$$x=-1,\ y=-2.$$

б) Введём обозначения:

$$a=x+y,\qquad b=xy.$$
Тогда
$$x^2+y^2=a^2-2b.$$
Первое уравнение системы:
$$(x^2+1)(y^2+1)=10$$
преобразуем:
$$x^2y^2+x^2+y^2+1=10,$$
$$b^2+(a^2-2b)+1=10,$$
$$b^2+a^2-2b-9=0.$$
Второе уравнение:
$$(x+y)(xy-1)=3$$
даёт
$$a(b-1)=3,$$
$$a=\frac{3}{b-1}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$b^2+\frac{9}{(b-1)^2}-2b-9=0.$$
Умножим на $$(b-1)^2$$:
$$b^2(b-1)^2+9-(2b+9)(b-1)^2=0.$$
После раскрытия скобок получаем:
$$b^4-4b^3-4b^2+16=0,$$
$$(b+2)b(b-2)(b-4)=0.$$
Значит,
$$b=-2,\ 0,\ 2,\ 4.$$
Найдём соответствующие значения $$a$$:
$$b=-2 \Rightarrow a=\frac{3}{-3}=-1;$$
$$b=0 \Rightarrow a=\frac{3}{-1}=-3;$$
$$b=2 \Rightarrow a=\frac{3}{1}=3;$$
$$b=4 \Rightarrow a=\frac{3}{3}=1.$$

Теперь решаем уравнения
$$x+y=a,\qquad xy=b.$$

1) При $$a=-1,\ b=-2$$:
$$t^2+ t-2=0,$$
$$t=1,\ -2.$$
Получаем пары $$(1,-2),\ (-2,1).$$

2) При $$a=-3,\ b=0$$:
$$t^2+3t=0,$$
$$t=0,\ -3.$$
Получаем пары $$(0,-3),\ (-3,0).$$

3) При $$a=3,\ b=2$$:
$$t^2-3t+2=0,$$
$$t=1,\ 2.$$
Получаем пары $$(1,2),\ (2,1).$$

4) При $$a=1,\ b=4$$:
$$t^2-t+4=0,$$
$$D=1-16=-15<0,$$ действительных решений нет.

Ответ

а) $$(-1;\,-2),\ (2;\,1)$$;
б) $$(1;\,-2),\ (-2;\,1),\ (0;\,-3),\ (-3;\,0),\ (1;\,2),\ (2;\,1).$$