Упр.1574 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению 2xy=x^2+2y;
б) все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению x^4-4xy+y^4+2=0.

а) Преобразуем уравнение:

$$2xy=x^2+2y$$

$$2xy-x^2=2y$$

$$x(2y-x)=2y$$

$$x(2y-x)-x=2y-x$$

$$x(2y-x-1)=2y-x$$

Положим $$n=2y-x$$. Тогда

$$x(n-1)=n$$

$$x=\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}$$

Так как $$x$$ — натуральное число, то $$\frac{1}{n-1}$$ тоже должно быть целым числом. Значит, $$n-1=1$$, откуда $$n=2$$.

Тогда

$$x=\frac{2}{2-1}=2$$

$$2y-x=2 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$$

Следовательно, искомая пара: $$ (2;2) $$.

б) Рассмотрим уравнение:

$$x^4-4xy+y^4+2=0$$

Добавим и вычтем единицы:

$$x^4+1+y^4+1-4xy=0$$

Используем неравенство $$z^4+1\ge 2z^2$$:

$$x^4+1\ge 2x^2,\qquad y^4+1\ge 2y^2$$

Тогда

$$x^4+1+y^4+1-4xy \ge 2x^2+2y^2-4xy$$

$$2x^2+2y^2-4xy=2(x-y)^2\ge 0$$

Но по условию левая часть равна нулю, значит, все неравенства обращаются в равенства. Отсюда

$$x=y$$

и одновременно

$$x^4-4x^2+x^4+2=0$$

$$2x^4-4x^2+2=0$$

$$x^4-2x^2+1=0$$

$$\left(x^2-1\right)^2=0$$

$$x^2=1,\quad x=\pm 1$$

Так как $$x=y$$, получаем пары:

$$(-1;-1),\ (1;1)$$

Ответ

а) $$ (2;2) $$;

б) $$(-1;-1),\ (1;1)$$.