Упр.1573 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1573. При каких значениях a любое значение функции f(x)=(3x^2+ax-6)/(x^2-x+1) принадлежит промежутку (—9; 6)?

Чтобы для любого значения $$x$$ выполнялось $$-9<f(x)<6,$$ нужно одновременно выполнить два неравенства:

$$\frac{3x^2+ax-6}{x^2-x+1}>-9,$$

$$\frac{3x^2+ax-6}{x^2-x+1}<6.$$

Заметим, что

$$x^2-x+1>0$$

при всех $$x$$, так как

$$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0.$$

Тогда можно умножать неравенства на знаменатель без изменения знака.

1) Решим неравенство

$$\frac{3x^2+ax-6}{x^2-x+1}>-9.$$

Получаем:

$$3x^2+ax-6>-9(x^2-x+1),$$

$$3x^2+ax-6>-9x^2+9x-9,$$

$$12x^2+(a-9)x+3>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$, то есть его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D_1=(a-9)^2-4\cdot 12\cdot 3<0,$$

$$a^2-18a+81-144<0,$$

$$a^2-18a-63<0.$$

Найдём корни:

$$D=18^2+4\cdot 63=324+252=576,$$

$$a_{1,2}=\frac{18\pm 24}{2},$$

$$a_1=-3,\quad a_2=21.$$

Тогда

$$-3<a<21.$$

2) Решим неравенство

$$\frac{3x^2+ax-6}{x^2-x+1}<6.$$

Получаем:

$$3x^2+ax-6<6(x^2-x+1),$$

$$3x^2+ax-6<6x^2-6x+6,$$

$$3x^2-(a+6)x+12>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x$$, дискриминант должен быть отрицательным:

$$D_2=(a+6)^2-4\cdot 3\cdot 12<0,$$

$$a^2+12a+36-144<0,$$

$$a^2+12a-108<0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2+4\cdot 108=144+432=576,$$

$$a_{1,2}=\frac{-12\pm 24}{2},$$

$$a_1=-18,\quad a_2=6.$$

Тогда

$$-18<a<6.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$(-3;21)\cap(-18;6)=(-3;6).$$

Ответ

$$a\in(-3;6).$$