Упр.1572 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) ax/(x^2+4) < 1,5; б) (x^2+ax-1)/(2x^2-2x+3)?1?

а) Чтобы неравенство

$$\frac{ax}{x^2+4}<1{,}5$$

было верно при любом $$x$$, преобразуем его:

$$2ax<3(x^2+4)$$

$$3x^2-2ax+12>0.$$

Это квадратный трехчлен, который должен быть положительным при всех $$x$$. Для этого достаточно, чтобы его дискриминант был отрицательным:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 3\cdot 12<0$$

$$4a^2-144<0$$

$$a^2-36<0$$

$$-6<a<6.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+ax-1}{2x^2-2x+3}<1.$$

Знаменатель всегда положителен, так как

$$2x^2-2x+3>0$$

для всех $$x$$, поскольку его дискриминант

$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot 3=4-24<0.$$

Тогда можно умножить неравенство на знаменатель:

$$x^2+ax-1<2x^2-2x+3$$

$$x^2-(a+2)x+4>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при любом $$x$$, квадратный трехчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Значит, его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=(a+2)^2-4\cdot 1\cdot 4<0$$

$$a^2+4a+4-16<0$$

$$a^2+4a-12<0$$

$$ (a+6)(a-2)<0.$$

Отсюда

$$-6<a<2.$$

Ответ

а) $$a\in(-6;6)$$; б) $$a\in(-6;2)$$.