Упр.1571 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^2+x^2/(x+1)^2 < 5/4; б) x^2+4x^2/(x-2)^2?5.

а) $$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}<\frac54,$$ где $$x\ne -1.$$

Умножим неравенство на $$4(x+1)^2>0$$:

$$ 4x^2(x+1)^2+4x^2<5(x+1)^2 $$
$$ 4x^2(x^2+2x+1)+4x^2<5(x^2+2x+1) $$
$$ 4x^4+8x^3+8x^2<5x^2+10x+5 $$
$$ 4x^4+8x^3+3x^2-10x-5<0 $$
$$ (x-1)(2x+1)(2x^2+5x+5)<0 $$

Так как $$2x^2+5x+5>0$$ при всех $$x$$, получаем:

$$ (x-1)(2x+1)<0 $$
$$ -\frac12<x<1 $$

С учётом ОДЗ $$x\ne -1$$ это не влияет на ответ.

б) $$x^2+\frac{4x^2}{(x-2)^2}\le 5,$$ где $$x\ne 2.$$

Умножим неравенство на $$ (x-2)^2>0$$:

$$ x^2(x-2)^2+4x^2\le 5(x-2)^2 $$
$$ x^2(x^2-4x+4)+4x^2\le 5(x^2-4x+4) $$
$$ x^4-4x^3+8x^2\le 5x^2-20x+20 $$
$$ x^4-4x^3+3x^2+20x-20\le 0 $$
$$ (x-1)(x+2)(x^2-5x+10)\le 0 $$

Так как $$x^2-5x+10>0$$ при всех $$x$$, остаётся:

$$ (x-1)(x+2)\le 0 $$
$$ -2\le x\le 1 $$

Точка $$x=2$$ не входит в найденный промежуток, значит ответ не меняется.

Ответ

а) $$\left(-\frac12;1\right)$$; б) $$[-2;1]$$.