Упр.157 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$x^5-0{,}16x^3=0$$; в) $$p^6=11p^5+12p^4$$; б) $$1{,}2y^3-6y=0$$; г) $$2x^3=x^2-6x$$.
- Постройте график функции $$y=\left|x^2-4|x|+3\right|-1$$ и найдите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком функции наибольшее количество общих точек.
Рассмотрим функцию $$y=\left|x^2-4|x|+3\right|-1.$$
Обозначим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$y=\left|t^2-4t+3\right|-1=\left|(t-1)(t-3)\right|-1.$$
Нули выражения под модулем:
$$t=1,\quad t=3,$$
то есть
$$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad |x|=3 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Вершина параболы $$t^2-4t+3$$ находится в точке
$$t_0=\frac{4}{2}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$
После взятия модуля получаем наименьшее значение функции:
$$y_{\min}=-1.$$
Кроме того, при $$x=0$$ имеем
$$y=\left|3\right|-1=2.$$
График функции симметричен относительно оси $$Oy$$. Он проходит через точки $$(-3,-1),(-1,-1),(0,2),(1,-1),(3,-1)$$ и имеет наибольшее число пересечений с горизонтальной прямой $$y=m$$, когда эта прямая проходит через все «волны» графика.
Максимальное число общих точек получается при значениях $$m$$ между уровнями $$-1$$ и $$0$$:
$$-1<m<0.$$
Тогда прямая $$y=m$$ пересекает график в 8 точках.
Ответ
$$-1<m<0.$$
