Упр.157 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 157. Постройте график функции y=|x^2-4|x|+3|-1 и найдите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком функции наибольшее количество обших точек.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\left|x^2-4|x|+3\right|-1.$$

Обозначим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$y=\left|t^2-4t+3\right|-1=\left|(t-1)(t-3)\right|-1.$$

Нули выражения под модулем:

$$t=1,\quad t=3,$$

то есть

$$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad |x|=3 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Вершина параболы $$t^2-4t+3$$ находится в точке

$$t_0=\frac{4}{2}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$

После взятия модуля получаем наименьшее значение функции:

$$y_{\min}=-1.$$

Кроме того, при $$x=0$$ имеем

$$y=\left|3\right|-1=2.$$

График функции симметричен относительно оси $$Oy$$. Он проходит через точки $$(-3,-1),(-1,-1),(0,2),(1,-1),(3,-1)$$ и имеет наибольшее число пересечений с горизонтальной прямой $$y=m$$, когда эта прямая проходит через все «волны» графика.

Максимальное число общих точек получается при значениях $$m$$ между уровнями $$-1$$ и $$0$$:

$$-1<m<0.$$

Тогда прямая $$y=m$$ пересекает график в 8 точках.