Упр.1569 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x-ab)/(a+b)+(x-ac)/(a+c)+(x-bc)/(b+c)=a+b+c;
б) (x-a)/(bc)+(x-b)/(ac)+(x-c)/(ab)=2(1/a+1/b+1/c).

а) Приведём уравнение к общему виду:

$$ \frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c $$
$$ \frac{x-ab}{a+b}-a+\frac{x-ac}{a+c}-b+\frac{x-bc}{b+c}-c=0 $$
$$ \frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-ab-bc}{a+c}+\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}=0 $$
$$ \left(\frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{b+c}\right)\bigl(x-(ab+ac+bc)\bigr)=0 $$

Отсюда:

$$ x=ab+ac+bc, $$
если
$$ \frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{b+c}\ne 0. $$
Если же
$$ \frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{b+c}=0, $$
то уравнение верно при любом $x$.

б) Аналогично преобразуем:

$$ \frac{x-a}{bc}+\frac{x-b}{ac}+\frac{x-c}{ab}=2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) $$
$$ \frac{x-a}{bc}-\frac2a+\frac{x-b}{ac}-\frac2b+\frac{x-c}{ab}-\frac2c=0 $$
$$ \frac{ax-a^2-2bc}{abc}+\frac{bx-b^2-2ac}{abc}+\frac{cx-c^2-2ab}{abc}=0 $$
$$ ax-a^2-2bc+bx-b^2-2ac+cx-c^2-2ab=0 $$
$$ x(a+b+c)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$
$$ x(a+b+c)=(a+b+c)^2 $$

Следовательно,

$$ x=a+b+c, $$
если
$$ a+b+c\ne 0. $$
Если же
$$ a+b+c=0, $$
то уравнение выполняется при любом $x$.

Ответ

а) $$x=ab+ac+bc$$ при $$\frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{b+c}\ne 0$$; любое число, если $$\frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{b+c}=0$$.

б) $$x=a+b+c$$ при $$a+b+c\ne 0$$; любое число, если $$a+b+c=0$$.