Упр.1568 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x/(x-1))^2+(x/(x+1))^2=10/9;
б) (x+5)^4-13(x+5)^2 x^2+36x^4=0;

а) Обозначим

$$y=\frac{2x^2}{x^2-1}.$$

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду

$$y^2-y-\frac{10}{9}=0.$$

Умножим на $$9$$:

$$9y^2-9y-10=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 9\cdot 10=81+360=441.$$

Тогда

$$y_1=\frac{9-21}{2\cdot 9}=-\frac{2}{3}, \qquad y_2=\frac{9+21}{2\cdot 9}=\frac{5}{3}.$$

1) Если $$\frac{2x^2}{x^2-1}=-\frac{2}{3},$$ то

$$6x^2=-2x^2+2,$$

$$8x^2=2,$$

$$x^2=\frac14,$$

$$x=\pm \frac12.$$

2) Если $$\frac{2x^2}{x^2-1}=\frac{5}{3},$$ то

$$6x^2=5x^2-5,$$

$$x^2=-5,$$

действительных решений нет.

б) Пусть $$y=x+5.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$y^4-13y^2x^2+36x^4=0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $$y^2$$:

$$D=(13x^2)^2-4\cdot 36x^4=169x^4-144x^4=25x^4.$$

Тогда

$$y_1^2=\frac{13x^2-5x^2}{2}=4x^2, \qquad y_2^2=\frac{13x^2+5x^2}{2}=9x^2.$$

Следовательно,

$$y=\pm 2x \quad \text{или} \quad y=\pm 3x.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$x+5=2x \Rightarrow x=5,$$

$$x+5=-2x \Rightarrow x=-\frac53,$$

$$x+5=3x \Rightarrow x=\frac52,$$

$$x+5=-3x \Rightarrow x=-\frac54.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac12$$; б) $$x=-\frac53,\,-\frac54,\,\frac52,\,5$$.