Упр.1567 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x/(x^2+3x+2)-x/(x^2+6x+2)=1/24;
б) x/(x^2-3x+1)-x/(x^2+x+1)=2 10/13.

а) Обозначим

$$y=x+\frac{2}{x}.$$

Тогда

$$x^2+3x+2=x\left(x+3+\frac{2}{x}\right)=x(y+3),$$

$$x^2+6x+2=x\left(x+6+\frac{2}{x}\right)=x(y+6).$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{1}{y+3}-\frac{1}{y+6}=\frac{1}{18}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3}{(y+3)(y+6)}=\frac{1}{18}.$$

Тогда

$$54=(y+3)(y+6),$$

$$y^2+9y-36=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$

$$y_1=\frac{-9-15}{2}=-12,\qquad y_2=\frac{-9+15}{2}=3.$$

1) Если $$x+\frac{2}{x}=-12,$$ то

$$x^2+12x+2=0,$$

$$D=12^2-4\cdot 2=136,$$

$$x=\frac{-12\pm\sqrt{136}}{2}=-6\pm\sqrt{34}.$$

2) Если $$x+\frac{2}{x}=3,$$ то

$$x^2-3x+2=0,$$

$$x_1=1,\qquad x_2=2.$$

б) Обозначим

$$y=x+\frac{1}{x}.$$

Тогда

$$x^2-3x+1=x\left(x-3+\frac{1}{x}\right)=x(y-3),$$

$$x^2+x+1=x\left(x+1+\frac{1}{x}\right)=x(y+1).$$

Получаем

$$\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y+1}=\frac{36}{13}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4}{(y-3)(y+1)}=\frac{36}{13}.$$

Тогда

$$52=36(y-3)(y+1),$$

$$9y^2-18y-40=0.$$

$$D=18^2+4\cdot 9\cdot 40=1764,$$

$$y_1=\frac{18-42}{18}=-\frac{4}{3},\qquad y_2=\frac{18+42}{18}=\frac{10}{3}.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{4}{3},$$ то

$$3x^2+4x+3=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 3=-20<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3},$$ то

$$3x^2-10x+3=0,$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$x_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

Ответ

а) $$1;\ 2;\ -6\pm\sqrt{34}.$$

б) $$\frac{1}{3};\ 3.$$