Упр.1564 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1564. Докажите, что из равенства 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует равенство 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a^n+b^n+c^n), где n — нечётное натуральное число.

Из условия имеем:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}.$$

Преобразуем:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c(a+b+c)}=-\frac{a+b}{c(a+b+c)}.$$

Следовательно,

$$c(a+b)(a+b+c)=-ab(a+b),$$

$$ (a+b)\bigl(c(a+b+c)+ab\bigr)=0,$$

$$ (a+b)\bigl(ac+bc+c^2+ab\bigr)=0,$$

$$ (a+b)\bigl(c(a+c)+b(a+c)\bigr)=0,$$

$$ (a+b)(a+c)(b+c)=0.$$

Значит, хотя бы одно из равенств выполняется:

$$a=-b,\quad a=-c,\quad b=-c.$$

Рассмотрим, например, случай $$a=-b$$. Тогда при нечётном натуральном $$n$$ имеем:

$$a^n=-b^n.$$

Из исходного равенства получаем:

$$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}.$$

С другой стороны,

$$a^n+b^n+c^n=a^n-a^n+c^n=c^n,$$

поэтому

$$\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{c^n}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}.$$

Аналогично доказывается и в случаях $$a=-c$$ или $$b=-c$$.

Ответ

$$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}.$$