Упр.1563 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что:

1. а) $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{2}$$.

а) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7} =2\cos\frac{6\pi}{14}\cos\frac{-2\pi}{14} =2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}.$$

Применим формулу произведения в сумму:

$$2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} =\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}.$$

Получаем тождество, а значение суммы известно:

$$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac12.$$

б) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5} =-2\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{-\pi}{10} =2\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10}.$$

Так как $$\sin\frac{3\pi}{10}=\cos\frac{\pi}{5},$$ а $$\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5},$$ то

$$2\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10} =2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}.$$

По формуле произведения косинусов:

$$2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} =\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}.$$

Следовательно,

$$\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=\frac12.$$

Ответ

а) $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac12;$$
б) $$\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=\frac12.$$