Упр.1562 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1562. Докажите, что уравнение sin^4(x)-sin^2(x)+sin(x)-3=0 не имеет корней.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^4 x-\sin^2 x+\sin x-3=0$$

Так как $$\sin^4 x-\sin^2 x=\sin^2 x(\sin^2 x-1)=-\sin^2 x\cos^2 x,$$ получаем

$$-\sin^2 x\cos^2 x+\sin x-3=0.$$

Используем формулу $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$ тогда

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{8}.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x-\frac{1-\cos 4x}{8}-3=0.$$

Умножим на $$8$$:

$$8\sin x-1+\cos 4x-24=0,$$

то есть

$$8\sin x+\cos 4x=25.$$

Но для любых $$x$$ выполняется

$$8\sin x+\cos 4x\le 8\cdot 1+1=9.$$

Следовательно, равенство $$8\sin x+\cos 4x=25$$ невозможно, значит исходное уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет.