Упр.1561 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1561. Докажите, что cos(?)cos(2?)cos(4?)·…·cos^k(?)=sin(2^(k+1) ?)/(2^(k+1) sin(?))m где k — натуральное число.

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда

$$\cos x=\frac{\sin 2x}{2\sin x}.$$

Подставим это в левую часть и последовательно преобразуем произведение:

$$ \cos a\cos 2a\cos 4a\cdots \cos 2^k a = \frac{\sin 2a}{2\sin a}\cdot \frac{\sin 4a}{2\sin 2a}\cdot \frac{\sin 8a}{2\sin 4a}\cdots \frac{\sin 2^{k+1}a}{2\sin 2^k a}. $$

Сокращая одинаковые множители в числителях и знаменателях, получаем:

$$ \cos a\cos 2a\cos 4a\cdots \cos 2^k a = \frac{\sin 2^{k+1}a}{2^{k+1}\sin a}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \cos a\cos 2a\cos 4a\cdots \cos 2^k a=\frac{\sin 2^{k+1}a}{2^{k+1}\sin a}. $$