Упр.1560 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что наибольшее значение $$\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)$$ равно $$\sqrt{3}$$.

Преобразуем выражение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right).$$

Заметим, что

$$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\sin x\sin\frac{\pi}{6}+\cos x\cos\frac{\pi}{6}\right).$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}.$$

Следовательно,

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$\cos t\le 1$$ при любом $$t$$, то

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x\le 2.$$

Равенство достигается при

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1,$$

то есть при

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

Наибольшее значение выражения равно $$2$$.