Упр.1559 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(a+b)/c=cos((A-B)/2)/sin(C/2), (a-b)/c=sin((A-B)/2)/cos(C/2).

Пусть

$$\frac{a}{\sin A}+\frac{b}{\sin B}+\frac{c}{\sin C}=k.$$

Тогда

$$a=k\sin A,\quad b=k\sin B,\quad c=k\sin C.$$

Так как $$A+B+C=\pi,$$ то

$$A+B=\pi-C.$$

Докажем первую формулу:

$$\frac{a+b}{c}=\frac{k\sin A+k\sin B}{k\sin C}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{c}=\frac{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}{\sin C}.$$

Поскольку $$A+B=\pi-C,$$ получаем

$$\sin\frac{A+B}{2}=\sin\frac{\pi-C}{2}=\cos\frac{C}{2}.$$

Кроме того,

$$\sin C=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{a+b}{c}=\frac{2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}=\frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}}.$$

Докажем вторую формулу:

$$\frac{a-b}{c}=\frac{k\sin A-k\sin B}{k\sin C}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$$

По формуле разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}.$$

Тогда

$$\frac{a-b}{c}=\frac{2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}}{\sin C}.$$

Так как $$A+B=\pi-C,$$ то

$$\cos\frac{A+B}{2}=\cos\frac{\pi-C}{2}=\sin\frac{C}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{a-b}{c}=\frac{2\sin\frac{A-B}{2}\sin\frac{C}{2}}{2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}=\frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{C}{2}}.$$

Ответ

$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}},\qquad \frac{a-b}{c}=\frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{C}{2}}.$$