Упр.1558 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Для произвольного треугольника докажите «теорему тангенсов»:
   $$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{A+B}{2}\right)}$$

По теореме синусов для произвольного треугольника имеем:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=k.$$

Тогда

$$a=k\sin A,\qquad b=k\sin B.$$

Рассмотрим отношение:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{k\sin A-k\sin B}{k\sin A+k\sin B}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B}.$$

Применим формулы суммы и разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

Подставим их в дробь:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}.$$

Сократим на $$2$$ и преобразуем:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{A-B}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{A+B}{2}}{\sin\frac{A+B}{2}}.$$

Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},$$ то получаем:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tg\frac{A-B}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tg\frac{A-B}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}.$$