Упр.1557 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1557. Докажите, что если в треугольнике с углами ?, ? и ? угол ? тупой, то произведение тангенсов ? и ? меньше 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makarichev_ugl9 1557 95

Пусть углы треугольника равны $$\alpha,\ \beta,\ \gamma,$$ причём $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ а угол $$\gamma$$ тупой. Тогда

$$\gamma>\frac{\pi}{2}, \qquad \alpha<\frac{\pi}{2}, \qquad \beta<\frac{\pi}{2}.$$

Так как $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ то

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}.$$

Докажем, что это произведение меньше 1:

$$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-1<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Числитель преобразуем по формуле:

$$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=-\cos(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$\frac{-\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Но $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ значит

$$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\pi-\gamma)=\cos\gamma.$$

Следовательно,

$$\frac{\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Так как $$\gamma>\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\gamma<0,$$ а поскольку $$\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\beta<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\alpha>0$$ и $$\cos\beta>0.$$ Значит, дробь отрицательна, то есть

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta<1.$$

Ответ

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta<1.$$