Упр.1556 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1556. Докажите, что если tg(?/2)=4tg(?/2), то tg((?-a)/2)=3sin(?)/(5-3cos(?)).

Используем формулу для тангенса разности:

$$\tg \frac{\beta-a}{2}=\frac{\tg \frac{\beta}{2}-\tg \frac{a}{2}}{1+\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{a}{2}}.$$

По условию $$\tg \frac{\beta}{2}=4\tg \frac{a}{2}.$$ Подставим это в формулу:

$$ \tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{4\tg \frac{a}{2}-\tg \frac{a}{2}}{1+4\tg^2 \frac{a}{2}} =\frac{3\tg \frac{a}{2}}{1+4\tg^2 \frac{a}{2}}. $$

Выразим через синус и косинус:

$$ \tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{3\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2}+4\sin^2 \frac{a}{2}} =\frac{\frac{3}{2}\sin a}{1+3\sin^2 \frac{a}{2}}. $$

Так как $$\sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2},$$ то

$$ 1+3\sin^2 \frac{a}{2} =1+\frac{3(1-\cos a)}{2} =\frac{5-3\cos a}{2}. $$

Тогда

$$ \tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{\frac{3}{2}\sin a}{\frac{5-3\cos a}{2}} =\frac{3\sin a}{5-3\cos a}. $$

Ответ

$$\tg \frac{\beta-a}{2}=\frac{3\sin a}{5-3\cos a}.$$