Упр.1555 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos(2?)+cos(4?)+…+cos(2n?)=sin(n?)cos((n+1)?)/sin(?), где n — натуральное число;
б) sin(2?)+sin(4?)+…+sin(2n?)=sin(n?)sin((n+1)?)/sin(?), где n — натуральное число.

Докажем тождества по индукции.

а) Для $$n=1$$ имеем:

$$\cos 2a=\frac{\sin a\cos 2a}{\sin a},$$

что верно.

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2ka=\frac{\sin ka\cos (k+1)a}{\sin a}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$ \cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2ka+\cos 2(k+1)a $$

$$ =\frac{\sin ka\cos (k+1)a}{\sin a}+\cos 2(k+1)a $$

$$ =\frac{\sin ka\cos (k+1)a+\sin a\cos 2(k+1)a}{\sin a}. $$

Используем формулы:

$$\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}.$$

Тогда

$$ \sin ka\cos (k+1)a=\frac{\sin(2ka+a)-\sin a}{2}, $$

$$ \sin a\cos 2(k+1)a=\frac{\sin(2ka+3a)-\sin(2ka+a)}{2}. $$

Складывая, получаем:

$$ \cos 2a+\cdots+\cos 2(k+1)a =\frac{\sin(2ka+3a)-\sin a}{2\sin a}. $$

По формуле $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$ имеем:

$$ \sin(2ka+3a)-\sin a=2\sin(k+1)a\cos(k+2)a. $$

Значит,

$$ \cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2(k+1)a =\frac{\sin(k+1)a\cos(k+2)a}{\sin a}. $$

Следовательно, тождество верно для любого натурального $$n$$.

б) Для $$n=1$$:

$$\sin 2a=\frac{\sin a\sin 2a}{\sin a},$$

что верно.

Пусть для $$n=k$$:

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2ka=\frac{\sin ka\sin (k+1)a}{\sin a}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$ \sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2ka+\sin 2(k+1)a $$

$$ =\frac{\sin ka\sin (k+1)a}{\sin a}+\sin 2(k+1)a $$

$$ =\frac{\sin ka\sin (k+1)a+\sin a\sin 2(k+1)a}{\sin a}. $$

Используем формулу:

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}.$$

Тогда

$$ \sin ka\sin (k+1)a=\frac{\cos a-\cos(2ka+a)}{2}, $$

$$ \sin a\sin 2(k+1)a=\frac{\cos(2ka+2a)-\cos(2ka+3a)}{2}. $$

Складывая, получаем:

$$ \sin 2a+\cdots+\sin 2(k+1)a =\frac{\cos a-\cos(2ka+3a)}{2\sin a}. $$

По формуле $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$ имеем:

$$ \cos a-\cos(2ka+3a)=2\sin(k+1)a\sin(k+2)a. $$

Следовательно,

$$ \sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2(k+1)a =\frac{\sin(k+1)a\sin(k+2)a}{\sin a}. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2na=\frac{\sin na\cos (n+1)a}{\sin a},$$

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2na=\frac{\sin na\sin (n+1)a}{\sin a}.$$