Упр.1555 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   а) $$\cos(2?)+\cos(4?)+\ldots+\cos(2n?)=\frac{\sin(n?)\cos((n+1)?)}{\sin(?)}$$, где $$n$$ — натуральное число;
   
   б) $$\sin(2?)+\sin(4?)+\ldots+\sin(2n?)=\frac{\sin(n?)\sin((n+1)?)}{\sin(?)}$$, где $$n$$ — натуральное число.

Докажем тождества по индукции.

а) Для $$n=1$$ имеем:

$$\cos 2a=\frac{\sin a\cos 2a}{\sin a},$$

что верно.

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2ka=\frac{\sin ka\cos (k+1)a}{\sin a}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2ka+\cos 2(k+1)a$$

$$=\frac{\sin ka\cos (k+1)a}{\sin a}+\cos 2(k+1)a$$

$$=\frac{\sin ka\cos (k+1)a+\sin a\cos 2(k+1)a}{\sin a}.$$

Используем формулы:

$$\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}.$$

Тогда

$$\sin ka\cos (k+1)a=\frac{\sin(2ka+a)-\sin a}{2},$$

$$\sin a\cos 2(k+1)a=\frac{\sin(2ka+3a)-\sin(2ka+a)}{2}.$$

Складывая, получаем:

$$\cos 2a+\cdots+\cos 2(k+1)a =\frac{\sin(2ka+3a)-\sin a}{2\sin a}.$$

По формуле $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$ имеем:

$$\sin(2ka+3a)-\sin a=2\sin(k+1)a\cos(k+2)a.$$

Значит,

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2(k+1)a =\frac{\sin(k+1)a\cos(k+2)a}{\sin a}.$$

Следовательно, тождество верно для любого натурального $$n$$.

б) Для $$n=1$$:

$$\sin 2a=\frac{\sin a\sin 2a}{\sin a},$$

что верно.

Пусть для $$n=k$$:

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2ka=\frac{\sin ka\sin (k+1)a}{\sin a}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2ka+\sin 2(k+1)a$$

$$=\frac{\sin ka\sin (k+1)a}{\sin a}+\sin 2(k+1)a$$

$$=\frac{\sin ka\sin (k+1)a+\sin a\sin 2(k+1)a}{\sin a}.$$

Используем формулу:

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}.$$

Тогда

$$\sin ka\sin (k+1)a=\frac{\cos a-\cos(2ka+a)}{2},$$

$$\sin a\sin 2(k+1)a=\frac{\cos(2ka+2a)-\cos(2ka+3a)}{2}.$$

Складывая, получаем:

$$\sin 2a+\cdots+\sin 2(k+1)a =\frac{\cos a-\cos(2ka+3a)}{2\sin a}.$$

По формуле $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$ имеем:

$$\cos a-\cos(2ka+3a)=2\sin(k+1)a\sin(k+2)a.$$

Следовательно,

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2(k+1)a =\frac{\sin(k+1)a\sin(k+2)a}{\sin a}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\cos 2a+\cos 4a+\cdots+\cos 2na=\frac{\sin na\cos (n+1)a}{\sin a},$$

$$\sin 2a+\sin 4a+\cdots+\sin 2na=\frac{\sin na\sin (n+1)a}{\sin a}.$$