Упр.1554 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2\alpha)}}}$$ при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$.

Преобразуем выражение, используя формулу

$$\cos 2a=2\cos^2 a-1.$$

Тогда

$$\frac12+\frac12\cos 2a=\frac12+\frac12(2\cos^2 a-1)=\cos^2 a.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos 2a}}}$$

$$=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos a}}$$

$$=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\cos^2\frac a2}}.$$

Так как $$0\le a\le \frac{\pi}{2},$$ то $$0\le \frac a2\le \frac{\pi}{4},$$ значит $$\cos \frac a2\ge 0$$ и

$$\sqrt{\cos^2\frac a2}=\cos\frac a2.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac12+\frac12\cos\frac a2}=\sqrt{\cos^2\frac a4}=\cos\frac a4.$$

Следовательно, исходное выражение равно $$\cos\frac a4.$$

Ответ

$$\cos\frac a4$$