Упр.1552 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Докажите, что если $$?+?+?=?$$, то $$\frac{\sin(?)+\sin(?)-\sin(?)}{\sin(?)+\sin(?)+\sin(?)}=\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)$$.

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$a+\beta+\gamma=\pi,$$

значит

$$\gamma=\pi-(a+\beta).$$

Рассмотрим левую часть:

$$\frac{\sin a+\sin \beta-\sin \gamma}{\sin a+\sin \beta+\sin \gamma} = \frac{\sin a+\sin \beta-\sin\bigl(\pi-(a+\beta)\bigr)}{\sin a+\sin \beta+\sin\bigl(\pi-(a+\beta)\bigr)}.$$

Так как $$\sin(\pi-x)=\sin x,$$ то

$$\frac{\sin a+\sin \beta-\sin(a+\beta)}{\sin a+\sin \beta+\sin(a+\beta)}.$$

Используем формулы суммы в произведение и сумму синусов:

$$\sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

$$\sin(a+\beta)=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}.$$

Тогда

$$\frac{2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}-2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}} {2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}+2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}}.$$

Вынесем общий множитель $$2\sin\frac{a+\beta}{2}$$:

$$\frac{\cos\frac{a-\beta}{2}-\cos\frac{a+\beta}{2}} {\cos\frac{a-\beta}{2}+\cos\frac{a+\beta}{2}}.$$

Теперь применим формулы:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Получаем:

$$\frac{2\sin\frac a2\sin\frac \beta2}{2\cos\frac a2\cos\frac \beta2} = \tg\frac a2 \tg\frac \beta2.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin a+\sin \beta-\sin \gamma}{\sin a+\sin \beta+\sin \gamma} = \tg\frac a2 \tg\frac \beta2.$$