Упр.1552 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1552. Докажите, что если ?+?+?=?, то (sin(?)+sin(?)-sin(?))/(sin(?)+sin(?)+sin(?))=tg(?/2)tg(?/2).

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$a+\beta+\gamma=\pi,$$

значит

$$\gamma=\pi-(a+\beta).$$

Рассмотрим левую часть:

$$ \frac{\sin a+\sin \beta-\sin \gamma}{\sin a+\sin \beta+\sin \gamma} = \frac{\sin a+\sin \beta-\sin\bigl(\pi-(a+\beta)\bigr)}{\sin a+\sin \beta+\sin\bigl(\pi-(a+\beta)\bigr)}. $$

Так как $$\sin(\pi-x)=\sin x,$$ то

$$ \frac{\sin a+\sin \beta-\sin(a+\beta)}{\sin a+\sin \beta+\sin(a+\beta)}. $$

Используем формулы суммы в произведение и сумму синусов:

$$ \sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}, $$

$$ \sin(a+\beta)=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}-2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}} {2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}+2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2}}. $$

Вынесем общий множитель $$2\sin\frac{a+\beta}{2}$$:

$$ \frac{\cos\frac{a-\beta}{2}-\cos\frac{a+\beta}{2}} {\cos\frac{a-\beta}{2}+\cos\frac{a+\beta}{2}}. $$

Теперь применим формулы:

$$ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}, $$

$$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}. $$

Получаем:

$$ \frac{2\sin\frac a2\sin\frac \beta2}{2\cos\frac a2\cos\frac \beta2} = \tg\frac a2 \tg\frac \beta2. $$

Следовательно,

$$ \frac{\sin a+\sin \beta-\sin \gamma}{\sin a+\sin \beta+\sin \gamma} = \tg\frac a2 \tg\frac \beta2. $$