Упр.1551 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите $$\sin(?+?)$$ и $$\cos(?+?)$$, если $$\sin(?)+\sin(?)=m$$ и $$\cos(?)+\cos(?)=q$$.

Используем формулы суммы синусов и косинусов:

$$\sin a+\sin \beta=2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2},$$
$$\cos a+\cos \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}.$$

По условию

$$\sin a+\sin \beta=m,\qquad \cos a+\cos \beta=q.$$

Тогда

$$\frac{\sin \frac{a+\beta}{2}}{\cos \frac{a+\beta}{2}}=\frac{m}{q},$$
то есть

$$\tan \frac{a+\beta}{2}=\frac{m}{q}.$$

Теперь найдём значения суммы:

$$\sin(a+\beta)=\frac{2\tan \frac{a+\beta}{2}}{1+\tan^2 \frac{a+\beta}{2}} =\frac{2\cdot \frac{m}{q}}{1+\frac{m^2}{q^2}} =\frac{2mq}{q^2+m^2},$$

$$\cos(a+\beta)=\frac{1-\tan^2 \frac{a+\beta}{2}}{1+\tan^2 \frac{a+\beta}{2}} =\frac{1-\frac{m^2}{q^2}}{1+\frac{m^2}{q^2}} =\frac{q^2-m^2}{q^2+m^2}.$$

Ответ

$$\sin(a+\beta)=\frac{2mq}{q^2+m^2},\qquad \cos(a+\beta)=\frac{q^2-m^2}{q^2+m^2}.$$