Упр.1551 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1551. Найдите sin(?+?) и cos(?+?), если sin(?)+sin(?)=m и cos(?)+cos(?)=q.

Используем формулы суммы синусов и косинусов:

$$ \sin a+\sin \beta=2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}, $$
$$ \cos a+\cos \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}. $$

По условию

$$ \sin a+\sin \beta=m,\qquad \cos a+\cos \beta=q. $$

Тогда

$$ \frac{\sin \frac{a+\beta}{2}}{\cos \frac{a+\beta}{2}}=\frac{m}{q}, $$
то есть

$$ \tan \frac{a+\beta}{2}=\frac{m}{q}. $$

Теперь найдём значения суммы:

$$ \sin(a+\beta)=\frac{2\tan \frac{a+\beta}{2}}{1+\tan^2 \frac{a+\beta}{2}} =\frac{2\cdot \frac{m}{q}}{1+\frac{m^2}{q^2}} =\frac{2mq}{q^2+m^2}, $$

$$ \cos(a+\beta)=\frac{1-\tan^2 \frac{a+\beta}{2}}{1+\tan^2 \frac{a+\beta}{2}} =\frac{1-\frac{m^2}{q^2}}{1+\frac{m^2}{q^2}} =\frac{q^2-m^2}{q^2+m^2}. $$

Ответ

$$ \sin(a+\beta)=\frac{2mq}{q^2+m^2},\qquad \cos(a+\beta)=\frac{q^2-m^2}{q^2+m^2}. $$