Упр.1550 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (sin(?)+sin(3?)+sin(5?))/(cos(?)+cos(3?)+cos(5?))=tg(3?);
б) (cos(?)-cos(2?)-cos(4?)-cos(5?))/(sin(?)-sin(2?)-sin(4?)+sin(5?))=ctg(3?).

а) Преобразуем сумму в числителе и знаменателе по формулам:

$$\sin a+\sin 5a=2\sin 3a\cos 2a,$$
$$\cos a+\cos 5a=2\cos 3a\cos 2a.$$

Тогда

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a} = \frac{\sin 3a+2\sin 3a\cos 2a}{\cos 3a+2\cos 3a\cos 2a} = \frac{\sin 3a(1+2\cos 2a)}{\cos 3a(1+2\cos 2a)}. $$

Сокращаем на $$1+2\cos 2a$$:

$$ \frac{\sin 3a}{\cos 3a}=\tg 3a. $$

Тождество доказано.

б) Используем формулы:

$$\cos a-\cos 5a=2\sin 3a\sin 2a,$$
$$\cos 2a+\cos 4a=2\cos 3a\cos a,$$
$$\sin a+\sin 5a=2\sin 3a\cos 2a.$$

Удобнее сгруппировать выражения так:

$$ \cos a-\cos 2a-\cos 4a-\cos 5a = (\cos a-\cos 5a)-(\cos 2a+\cos 4a), $$
$$ \sin a-\sin 2a-\sin 4a+\sin 5a = (\sin a+\sin 5a)-(\sin 2a+\sin 4a). $$

Тогда

$$ \cos a-\cos 2a-\cos 4a-\cos 5a = 2\sin 3a\sin 2a-2\cos 3a\cos a, $$
$$ \sin a-\sin 2a-\sin 4a+\sin 5a = 2\sin 3a\cos 2a-2\sin 3a\cos a. $$

После преобразований получаем:

$$ \frac{\cos a-\cos 2a-\cos 4a-\cos 5a}{\sin a-\sin 2a-\sin 4a+\sin 5a} = \frac{\cos 3a}{\sin 3a} = \ctg 3a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \text{а) } \tg 3a;\qquad \text{б) } \ctg 3a. $$