Упр.155 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) y=|x^2-6|x|+8|; в) y=(|x|-3)/(|x|+3);
б) y=|2|x|-x^2|; г) y=|(x-4)/(x+1)|.
а) $$y=\left|x^2-6|x|+8\right|$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$y=\left|t^2-6t+8\right|=\left|(t-2)(t-4)\right|.$$
Значит, график симметричен относительно оси $$Oy$$. Нули функции: $$|x|=2$$ и $$|x|=4$$, то есть $$x=\pm 2,\ \pm 4$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=|8|=8$$.
Вершина внутренней параболы соответствует $$t=3$$:
$$y=|3^2-6\cdot 3+8|=|-1|=1.$$
Схематически график состоит из участков параболы, отражённых относительно оси $$Ox$$ там, где выражение внутри модуля отрицательно.
б) $$y=\left|2|x|-x^2\right|$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$y=\left|2t-t^2\right|=\left|t(2-t)\right|.$$
Нули функции: $$t=0$$ и $$t=2$$, то есть $$x=0,\ \pm 2$$.
На промежутке $$0\le t\le 2$$ выражение $$2t-t^2\ge 0$$, а при $$t>2$$ оно отрицательно, поэтому внешняя абсолютная величина отражает ветви вниз вверх.
Максимум внутренней функции достигается при
$$t_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
и тогда
$$y(1)=2\cdot 1-1^2=1.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
в) $$y=\frac{|x|-3}{|x|+3}$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$y=\frac{t-3}{t+3}=1-\frac{6}{t+3}.$$
Так как $$t+3>0$$, область определения: все действительные числа.
При $$x=0$$:
$$y=\frac{0-3}{0+3}=-1.$$
При $$|x|\to\infty$$ имеем $$y\to 1$$, значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0,-1\right)$$ и стремится к прямой $$y=1$$.
г) $$y=\left|\frac{x-4}{x+1}\right|$$
Область определения: $$x\ne -1$$.
Преобразуем:
$$\frac{x-4}{x+1}=1-\frac{5}{x+1},$$
поэтому
$$y=\left|1-\frac{5}{x+1}\right|.$$
Нуль функции: $$x-4=0$$, то есть $$x=4$$.
При $$x=0$$:
$$y=\left|\frac{-4}{1}\right|=4.$$
График получается из графика дробно-рациональной функции отражением отрицательных участков относительно оси $$Ox$$. Вертикальная асимптота: $$x=-1$$, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.
Ответ
Графики функций симметричны относительно оси $$Oy$$ в пунктах а, б, в; в пункте г область определения $$x\ne -1$$, нуль $$x=4$$, асимптоты $$x=-1$$ и $$y=1$$.
