Упр.1549 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(?)+sin(2?)+sin(3?); в) cos(?)+cos(2?)+cos(3?);
б) sin(?)-sin(2?)+sin(3?); г) cos(?)-cos(2?)+cos(3?).

Используем формулы суммы тригонометрических функций:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

1. $$\sin a+\sin 2a+\sin 3a=(\sin a+\sin 3a)+\sin 2a$$
   $$=2\sin 2a\cos a+\sin 2a$$
   $$=\sin 2a(2\cos a+1)$$
   $$=2\sin a\cos a(2\cos a+1)$$
   $$=4\cos a\sin\frac{3a}{2}\cos\frac{a}{2}$$

2. $$\sin a-\sin 2a+\sin 3a=(\sin a+\sin 3a)-\sin 2a$$
   $$=2\sin 2a\cos a-\sin 2a$$
   $$=\sin 2a(2\cos a-1)$$
   $$=2\sin a\cos a(2\cos a-1)$$
   $$=4\cos a\sin\frac{a}{2}\cos\frac{3a}{2}$$

3. $$\cos a+\cos 2a+\cos 3a=(\cos a+\cos 3a)+\cos 2a$$
   $$=2\cos 2a\cos a+\cos 2a$$
   $$=\cos 2a(2\cos a+1)$$
   $$=2\cos 2a\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\right)$$
   $$=4\cos 2a\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)$$

4. $$\cos a-\cos 2a+\cos 3a=(\cos a+\cos 3a)-\cos 2a$$
   $$=2\cos 2a\cos a-\cos 2a$$
   $$=\cos 2a(2\cos a-1)$$
   $$=2\cos 2a\left(\cos a-\cos\frac{\pi}{3}\right)$$
   $$=4\cos 2a\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$

Ответ

а) $$4\cos a\sin\frac{3a}{2}\cos\frac{a}{2}$$;
б) $$4\cos a\sin\frac{a}{2}\cos\frac{3a}{2}$$;
в) $$4\cos 2a\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)$$;
г) $$4\cos 2a\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$.