Упр.1548 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos^2(?)-sin^2(?)=cos(?+?)cos(?-?);
б) sin^2(?+?)-sin^2(?-?)=sin(2?)sin(2?).

а) Преобразуем правую часть:

$$ \cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{\cos\big((a+\beta)+(a-\beta)\big)+\cos\big((a+\beta)-(a-\beta)\big)}{2} $$
$$ =\frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2} $$
$$ =\frac{(2\cos^2 a-1)+(1-2\sin^2 \beta)}{2} =\cos^2 a-\sin^2 \beta. $$

Следовательно,

$$ \cos^2 a-\sin^2 \beta=\cos(a+\beta)\cos(a-\beta). $$

б) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^2(a+\beta)-\sin^2(a-\beta) $$
$$ =\big(\sin(a+\beta)-\sin(a-\beta)\big)\big(\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)\big) $$
$$ =2\cos\frac{(a+\beta)+(a-\beta)}{2}\sin\frac{(a+\beta)-(a-\beta)}{2}\cdot 2\sin\frac{(a+\beta)+(a-\beta)}{2}\cos\frac{(a+\beta)-(a-\beta)}{2} $$
$$ =2\cos a\sin\beta\cdot 2\sin a\cos\beta =\sin 2a\sin 2\beta. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \cos^2 a-\sin^2 \beta=\cos(a+\beta)\cos(a-\beta), $$
$$ \sin^2(a+\beta)-\sin^2(a-\beta)=\sin 2a\sin 2\beta. $$