Упр.1548 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что при любых значениях $$?$$ и $$?$$ верно равенство:

а) $$\cos^2(?) — \sin^2(?) = \cos(?+?)\cos(?-?)$$;

б) $$\sin^2(?+?) — \sin^2(?-?) = \sin(2?)\sin(2?)$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{\cos\big((a+\beta)+(a-\beta)\big)+\cos\big((a+\beta)-(a-\beta)\big)}{2}$$
$$=\frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2}$$
$$=\frac{(2\cos^2 a-1)+(1-2\sin^2 \beta)}{2} =\cos^2 a-\sin^2 \beta.$$

Следовательно,

$$\cos^2 a-\sin^2 \beta=\cos(a+\beta)\cos(a-\beta).$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sin^2(a+\beta)-\sin^2(a-\beta)$$
$$=\big(\sin(a+\beta)-\sin(a-\beta)\big)\big(\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)\big)$$
$$=2\cos\frac{(a+\beta)+(a-\beta)}{2}\sin\frac{(a+\beta)-(a-\beta)}{2}\cdot 2\sin\frac{(a+\beta)+(a-\beta)}{2}\cos\frac{(a+\beta)-(a-\beta)}{2}$$
$$=2\cos a\sin\beta\cdot 2\sin a\cos\beta =\sin 2a\sin 2\beta.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\cos^2 a-\sin^2 \beta=\cos(a+\beta)\cos(a-\beta),$$
$$\sin^2(a+\beta)-\sin^2(a-\beta)=\sin 2a\sin 2\beta.$$