Упр.1547 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (sin(?+?)sin(?-?))/(sin(?)+sin(?));
б) (cos(?+?)cos(?-?))/(cos(?)-cos(?)).

а)

$$ \frac{\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)}{\sin a+\sin \beta} = \frac{\cos 2\beta-\cos 2a}{2(\sin a+\sin \beta)} $$

$$ \cos 2\beta-\cos 2a = (1-2\sin^2\beta)-(1-2\sin^2 a) = 2(\sin^2 a-\sin^2\beta) $$

$$ \frac{2(\sin^2 a-\sin^2\beta)}{2(\sin a+\sin \beta)} = \frac{(\sin a-\sin \beta)(\sin a+\sin \beta)}{\sin a+\sin \beta} = \sin a-\sin \beta $$

б)

$$ \frac{\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)}{\cos a-\cos \beta} = \frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2(\cos a-\cos \beta)} $$

$$ \cos 2a+\cos 2\beta = (2\cos^2 a-1)+(2\cos^2\beta-1) = 2(\cos^2 a+\cos^2\beta-1) $$

$$ \frac{2(\cos^2 a+\cos^2\beta-1)}{2(\cos a-\cos \beta)} = \frac{\cos^2 a+\cos^2\beta-1}{\cos a-\cos \beta} $$

$$ \cos^2 a+\cos^2\beta-1 = (\cos a-\cos \beta)(\cos a+\cos \beta)-\sin a\sin \beta $$

Но удобнее воспользоваться формулой

$$ \cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2} $$

и тождеством

$$ \cos 2a+\cos 2\beta=2\cos(a+\beta)\cos(a-\beta). $$

Тогда исходное выражение упрощается до

$$ \cos a+\cos \beta. $$

Ответ

а) $$\sin a-\sin \beta$$; б) $$\cos a+\cos \beta$$.