Упр.1545 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) 1-cos^2(x)-cos^2(y); в) 1+sin(?)+cos(?);
б) 1-sin^2(x)-cos^2(y); г) 1-sin(?)-cos(?).
а) $$1-\cos^2 x-\cos^2 y=\sin^2 x-\cos^2 y.$$
Используем формулу разности квадратов:
$$\sin^2 x-\cos^2 y=(\sin x-\cos y)(\sin x+\cos y).$$
Переходя к формулам приведения, получаем:
$$\sin^2 x-\cos^2 y=-\cos(x+y)\cos(x-y).$$
б) $$1-\sin^2 x-\cos^2 y=\sin^2 y-\sin^2 x.$$
Разложим разность квадратов:
$$\sin^2 y-\sin^2 x=(\sin y-\sin x)(\sin y+\sin x).$$
По формулам суммы и разности синусов:
$$\sin^2 y-\sin^2 x=\sin(y-x)\sin(y+x).$$
в) $$1+\sin a+\cos a=1+\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right).$$
Так как
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a=\sin a\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos a=\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right),$$
то
$$1+\sin a+\cos a=1+\sqrt2\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right).$$
Далее:
$$1+\sqrt2\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
Используем формулу
$$\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac{\pi}{4},$$
тогда
$$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}+\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\sqrt2\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{a}{2}.$$
г) $$1-\sin a-\cos a=1-\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right).$$
Так как
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a=\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right),$$
то
$$1-\sin a-\cos a=1-\sqrt2\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right).$$
Представим единицу как $$\sqrt2\sin\frac{\pi}{4}$$:
$$1-\sin a-\cos a=\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
По формуле разности синусов:
$$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\right)=-2\sqrt2\sin\frac{a}{2}\cos\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
Ответ
а) $$-\cos(x+y)\cos(x-y);$$ б) $$\sin(y-x)\sin(y+x);$$ в) $$2\sqrt2\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{a}{2};$$ г) $$-2\sqrt2\sin\frac{a}{2}\cos\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
