Упр.1544 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$\cos(?)(\cos(?)-\cos(?))+\sin(?)(\sin(?)-\sin(?))=2\sin^2\left(\frac{?-?}{2}\right)$$;
2. $$(\sin(?)-\sin(?))^2+(\cos(?)-\cos(?))^2=4\sin^2\left(\frac{?-?}{2}\right)$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\cos a(\cos a-\cos \beta)+\sin a(\sin a-\sin \beta)$$
$$=\cos^2 a-\cos a\cos \beta+\sin^2 a-\sin a\sin \beta$$
$$=(\cos^2 a+\sin^2 a)-(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)$$
$$=1-\cos(a-\beta).$$

По формуле

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

получаем

$$1-\cos(a-\beta)=2\sin^2\frac{a-\beta}{2}.$$

Следовательно, тождество доказано.

б) Раскроем скобки в левой части:

$$(\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a-\cos \beta)^2$$
$$=\sin^2 a-2\sin a\sin \beta+\sin^2 \beta+\cos^2 a-2\cos a\cos \beta+\cos^2 \beta$$
$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)+(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)-2(\sin a\sin \beta+\cos a\cos \beta)$$
$$=2-2\cos(a-\beta).$$

Теперь используем формулу

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2-2\cos(a-\beta)=2\bigl(1-\cos(a-\beta)\bigr)=4\sin^2\frac{a-\beta}{2}.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos a(\cos a-\cos \beta)+\sin a(\sin a-\sin \beta)=2\sin^2\frac{a-\beta}{2}$$

б) $$(\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a-\cos \beta)^2=4\sin^2\frac{a-\beta}{2}$$