Упр.1544 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos(?)(cos(?)-cos(?))+sin(?)(sin(?)-sin(?))=2sin^2((?-?)/2);
б) (sin(?)-sin(?))^2+(cos(?)-cos(?))^2=4sin^2((?-?)/2).

а) Преобразуем левую часть:

$$ \cos a(\cos a-\cos \beta)+\sin a(\sin a-\sin \beta) $$
$$ =\cos^2 a-\cos a\cos \beta+\sin^2 a-\sin a\sin \beta $$
$$ =(\cos^2 a+\sin^2 a)-(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta) $$
$$ =1-\cos(a-\beta). $$

По формуле

$$ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$

получаем

$$ 1-\cos(a-\beta)=2\sin^2\frac{a-\beta}{2}. $$

Следовательно, тождество доказано.

б) Раскроем скобки в левой части:

$$ (\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a-\cos \beta)^2 $$
$$ =\sin^2 a-2\sin a\sin \beta+\sin^2 \beta+\cos^2 a-2\cos a\cos \beta+\cos^2 \beta $$
$$ =(\sin^2 a+\cos^2 a)+(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)-2(\sin a\sin \beta+\cos a\cos \beta) $$
$$ =2-2\cos(a-\beta). $$

Теперь используем формулу

$$ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}. $$

Тогда

$$ 2-2\cos(a-\beta)=2\bigl(1-\cos(a-\beta)\bigr)=4\sin^2\frac{a-\beta}{2}. $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos a(\cos a-\cos \beta)+\sin a(\sin a-\sin \beta)=2\sin^2\frac{a-\beta}{2}$$

б) $$ (\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a-\cos \beta)^2=4\sin^2\frac{a-\beta}{2} $$