Упр.1542 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) cos(?/2)=1/2 и 0 < ? < ?/2; б) sin(?)=0,28 и ?/2 < ? < ?.
а) Пусть $$\cos a=\frac12$$, $$0<a<\frac{\pi}{2}$$.
Тогда угол $$a$$ острый, значит $$\sin a>0$$ и $$\tg a>0$$.
$$ \sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac12}{2}} =\sqrt{\frac14} =\frac12 $$
$$ \cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac12}{2}} =\sqrt{\frac34} =\frac{\sqrt3}{2} $$
$$ \tg \frac a2=\frac{\sin \frac a2}{\cos \frac a2} =\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3} $$
б) Пусть $$\sin a=0{,}28=\frac{7}{25}$$, $$\frac{\pi}{2}<a<\pi$$.
Тогда угол $$a$$ во II четверти, значит $$\cos a<0$$.
$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{49}{625}} =-\sqrt{\frac{576}{625}} =-\frac{24}{25} $$
$$ \sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{24}{25}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{49}{50}} =\frac{7\sqrt2}{10} $$
$$ \cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{50}} =\frac{\sqrt2}{10} $$
$$ \tg \frac a2=\frac{\sin \frac a2}{\cos \frac a2} =\frac{\frac{7\sqrt2}{10}}{\frac{\sqrt2}{10}} =7 $$
Ответ
а) $$\sin \frac a2=\frac12,\ \cos \frac a2=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg \frac a2=\frac{\sqrt3}{3}$$;
б) $$\sin \frac a2=\frac{7\sqrt2}{10},\ \cos \frac a2=\frac{\sqrt2}{10},\ \tg \frac a2=7$$.
