Упр.1540 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(3?)=3sin(?)-4sin^3(?); в) tg(3?)=(3tg(?)-tg^3(?))/(1-3tg^2(?));
б) cos(3?)=4cos(3?)-3cos(?); г) ctg(3?)=(ctg^3(?)-3ctg(?))/(3ctg^2(?)-1).

1. Докажем тождество

   $$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a.$$

   $$\sin 3a=\sin(2a+a)=\sin 2a\cos a+\cos 2a\sin a$$
   $$=2\sin a\cos^2 a+(\cos^2 a-\sin^2 a)\sin a$$
   $$=2\sin a\cos^2 a+\cos^2 a\sin a-\sin^3 a$$
   $$=3\sin a\cos^2 a-\sin^3 a$$
   $$=3\sin a(1-\sin^2 a)-\sin^3 a$$
   $$=3\sin a-3\sin^3 a-\sin^3 a$$
   $$=3\sin a-4\sin^3 a.$$

2. Докажем тождество

   $$\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a.$$

   $$\cos 3a=\cos(2a+a)=\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a$$
   $$=(\cos^2 a-\sin^2 a)\cos a-2\sin^2 a\cos a$$
   $$=\cos^3 a-\sin^2 a\cos a-2\sin^2 a\cos a$$
   $$=\cos^3 a-3\sin^2 a\cos a$$
   $$=\cos^3 a-3\cos a(1-\cos^2 a)$$
   $$=\cos^3 a-3\cos a+3\cos^3 a$$
   $$=4\cos^3 a-3\cos a.$$

3. Докажем тождество

   $$\tg 3a=\frac{3\tg a-\tg^3 a}{1-3\tg^2 a}.$$

   $$\tg 3a=\tg(2a+a)=\frac{\tg 2a+\tg a}{1-\tg 2a\cdot \tg a}$$
   $$=\frac{\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}+\tg a}{1-\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}\cdot \tg a}$$
   $$=\frac{2\tg a+\tg a(1-\tg^2 a)}{1-\tg^2 a-2\tg^2 a}$$
   $$=\frac{3\tg a-\tg^3 a}{1-3\tg^2 a}.$$

4. Докажем тождество

   $$\ctg 3a=\frac{\ctg^3 a-3\ctg a}{3\ctg^2 a-1}.$$

   $$\ctg 3a=\ctg(2a+a)=\frac{\ctg 2a\cdot \ctg a-1}{\ctg 2a+\ctg a}$$
   $$=\frac{\frac{\ctg^2 a-1}{2\ctg a}\cdot \ctg a-1}{\frac{\ctg^2 a-1}{2\ctg a}+\ctg a}$$
   $$=\frac{\ctg^2 a-1-2}{\frac{\ctg^2 a-1+2\ctg^2 a}{2\ctg a}}$$
   $$=\frac{2\ctg a(\ctg^2 a-3)}{3\ctg^2 a-1}$$
   $$=\frac{\ctg^3 a-3\ctg a}{3\ctg^2 a-1}.$$

Ответ

Все четыре тождества доказаны.