Упр.1539 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(4?) через sin(?) и cos(?); в) tg(4?) через tg(?);
б) cos(4?) через sin(?) и cos(?); г) ctg(4?) через ctg(?).

Используем формулы двойного угла и выражаем функции от $$4a$$ через функции от $$a$$.

1. Для синуса:

   $$ \sin 4a = 2\sin 2a \cos 2a $$

   Так как

   $$ \sin 2a = 2\sin a \cos a,\qquad \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a, $$

   то

   $$ \sin 4a = 4\sin a \cos a(\cos^2 a-\sin^2 a). $$

2. Для косинуса:

   $$ \cos 4a = \cos^2 2a — \sin^2 2a $$

   Подставим формулы двойного угла:

   $$ \cos 4a = (\cos^2 a-\sin^2 a)^2 — 4\sin^2 a\cos^2 a. $$

3. Для тангенса:

   $$ \tg 4a = \frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a},\qquad \tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}. $$

   Тогда

   $$ \tg 4a=\frac{4\tg a(1-\tg^2 a)}{1-6\tg^2 a+\tg^4 a}. $$

4. Для котангенса:

   $$ \ctg 4a=\frac{\ctg^2 2a-1}{2\ctg 2a},\qquad \ctg 2a=\frac{\ctg^2 a-1}{2\ctg a}. $$

   После подстановки получаем:

   $$ \ctg 4a=\frac{\ctg^4 a-6\ctg^2 a+1}{4\ctg a(\ctg^2 a-1)}. $$

Ответ

$$ \sin 4a=4\sin a\cos a(\cos^2 a-\sin^2 a), $$

$$ \cos 4a=(\cos^2 a-\sin^2 a)^2-4\sin^2 a\cos^2 a, $$

$$ \tg 4a=\frac{4\tg a(1-\tg^2 a)}{1-6\tg^2 a+\tg^4 a}, $$

$$ \ctg 4a=\frac{\ctg^4 a-6\ctg^2 a+1}{4\ctg a(\ctg^2 a-1)}. $$