Упр.1539 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выразите: а) $$\sin 4\alpha$$ через $$\sin\alpha$$ и $$\cos\alpha$$; в) $$\tan 4\alpha$$ через $$\tan\alpha$$; б) $$\cos 4\alpha$$ через $$\sin\alpha$$ и $$\cos\alpha$$; г) $$\cot 4\alpha$$ через $$\cot\alpha$$.

Используем формулы двойного угла и выражаем функции от $$4a$$ через функции от $$a$$.

1. Для синуса:

   $$\sin 4a = 2\sin 2a \cos 2a$$

   Так как

   $$\sin 2a = 2\sin a \cos a,\qquad \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a,$$

   то

   $$\sin 4a = 4\sin a \cos a(\cos^2 a-\sin^2 a).$$

2. Для косинуса:

   $$\cos 4a = \cos^2 2a — \sin^2 2a$$

   Подставим формулы двойного угла:

   $$\cos 4a = (\cos^2 a-\sin^2 a)^2 — 4\sin^2 a\cos^2 a.$$

3. Для тангенса:

   $$\tg 4a = \frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a},\qquad \tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

   Тогда

   $$\tg 4a=\frac{4\tg a(1-\tg^2 a)}{1-6\tg^2 a+\tg^4 a}.$$

4. Для котангенса:

   $$\ctg 4a=\frac{\ctg^2 2a-1}{2\ctg 2a},\qquad \ctg 2a=\frac{\ctg^2 a-1}{2\ctg a}.$$

   После подстановки получаем:

   $$\ctg 4a=\frac{\ctg^4 a-6\ctg^2 a+1}{4\ctg a(\ctg^2 a-1)}.$$

Ответ

$$\sin 4a=4\sin a\cos a(\cos^2 a-\sin^2 a),$$

$$\cos 4a=(\cos^2 a-\sin^2 a)^2-4\sin^2 a\cos^2 a,$$

$$\tg 4a=\frac{4\tg a(1-\tg^2 a)}{1-6\tg^2 a+\tg^4 a},$$

$$\ctg 4a=\frac{\ctg^4 a-6\ctg^2 a+1}{4\ctg a(\ctg^2 a-1)}.$$