Упр.1537 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1537. Выразите sin(2?), cos(2?) и tg(2?) через sin(?/2), cos(?/2) и tg(?/2).

Используем формулы двойного угла и формулы половинного угла:

$$\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi,$$
$$\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi,$$
$$\tg 2\varphi=\frac{2\tg\varphi}{1-\tg^2\varphi}.$$

Так как $$\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2},$$ то

$$\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi =4\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos^2\frac{\varphi}{2}-\sin^2\frac{\varphi}{2}\right).$$

Для косинуса:

$$\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi =\left(\cos^2\frac{\varphi}{2}-\sin^2\frac{\varphi}{2}\right)^2-4\sin^2\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$

Для тангенса:

$$\tg 2\varphi=\frac{2\tg\varphi}{1-\tg^2\varphi}, \qquad \tg\varphi=\frac{2\tg\frac{\varphi}{2}}{1-\tg^2\frac{\varphi}{2}}.$$

Подставим это выражение:

$$\tg 2\varphi= \frac{2\cdot \frac{2\tg\frac{\varphi}{2}}{1-\tg^2\frac{\varphi}{2}}} {1-\left(\frac{2\tg\frac{\varphi}{2}}{1-\tg^2\frac{\varphi}{2}}\right)^2}.$$

Упростим:

$$\tg 2\varphi= \frac{4\tg\frac{\varphi}{2}}{1-\tg^2\frac{\varphi}{2}} \cdot \frac{(1-\tg^2\frac{\varphi}{2})^2}{(1-\tg^2\frac{\varphi}{2})^2-4\tg^2\frac{\varphi}{2}}.$$

После сокращения получаем:

$$\tg 2\varphi= \frac{4\tg\frac{\varphi}{2}\left(1-\tg^2\frac{\varphi}{2}\right)} {1-6\tg^2\frac{\varphi}{2}+\tg^4\frac{\varphi}{2}}.$$

Ответ

$$\sin 2\varphi=4\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos^2\frac{\varphi}{2}-\sin^2\frac{\varphi}{2}\right),$$
$$\cos 2\varphi=\left(\cos^2\frac{\varphi}{2}-\sin^2\frac{\varphi}{2}\right)^2-4\sin^2\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2},$$
$$\tg 2\varphi=\frac{4\tg\frac{\varphi}{2}\left(1-\tg^2\frac{\varphi}{2}\right)}{1-6\tg^2\frac{\varphi}{2}+\tg^4\frac{\varphi}{2}}.$$