Упр.1536 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1536. Докажите, что 1/2 sin(2?)?sin(?), если 0????/2.

Рассмотрим неравенство

$$\frac12\sin 2a \le \sin a,\qquad 0\le a\le \frac{\pi}{2}.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a.$$

Тогда

$$\frac12\sin 2a=\sin a\cos a.$$

При $$0\le a\le \frac{\pi}{2}$$ имеем $$\sin a\ge 0$$ и $$\cos a\le 1$$, значит

$$\sin a\cos a\le \sin a.$$

Следовательно,

$$\frac12\sin 2a\le \sin a.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac12\sin 2a\le \sin a,\qquad 0\le a\le \frac{\pi}{2}.$$