Упр.1535 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) sin(?)=v22/5 и 0 < ? < ?/2; в) tg(?)=2,4 и ? < ? < 3/2?; б) cos(?)=-v3/4 и ?/2 < ? < ?; г) ctg(?)=-1 1/3 и 3/2? < ? < 2?.
а) $$\sin a=\frac{\sqrt{22}}{5}, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$
Так как угол острый, то $$\cos a>0.$$ Найдём косинус:
$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{22}{25}}=\frac{\sqrt3}{5}.$$
Тогда
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{\sqrt{22}}{5}\cdot \frac{\sqrt3}{5}=\frac{2\sqrt{66}}{25},$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{3}{25}-\frac{22}{25}=-\frac{19}{25},$$
$$\tg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{2\sqrt{66}/25}{-19/25}=-\frac{2\sqrt{66}}{19}.$$
б) $$\cos a=-\frac{\sqrt3}{4}, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$
Здесь $$\sin a>0,$$ поэтому
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}.$$
Тогда
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{\sqrt{13}}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{4}\right)=-\frac{\sqrt{39}}{8},$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{3}{16}-\frac{13}{16}=-\frac{5}{8},$$
$$\tg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\sqrt{39}/8}{-5/8}=\frac{\sqrt{39}}{5}.$$
в) $$\tg a=2{,}4=\frac{12}{5}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$
Угол в III четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0.$$
Найдём косинус:
$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{144}{25}}}=-\frac{5}{13}.$$
Тогда
$$\sin a=\tg a\cdot \cos a=\frac{12}{5}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}.$$
Теперь
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169},$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169},$$
$$\tg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{120/169}{-119/169}=-\frac{120}{119}.$$
г) $$\ctg a=-1\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Угол в IV четверти, значит $$\sin a<0,$$ $$\cos a>0.$$
Найдём синус:
$$\sin a=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 a}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{16}{9}}}=-\frac{3}{5}.$$
Тогда
$$\cos a=\ctg a\cdot \sin a=-\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}.$$
Теперь
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25},$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25},$$
$$\tg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-24/25}{7/25}=-\frac{24}{7}.$$
Ответ
а) $$\sin 2a=\frac{2\sqrt{66}}{25}, \quad \cos 2a=-\frac{19}{25}, \quad \tg 2a=-\frac{2\sqrt{66}}{19};$$
б) $$\sin 2a=-\frac{\sqrt{39}}{8}, \quad \cos 2a=-\frac{5}{8}, \quad \tg 2a=\frac{\sqrt{39}}{5};$$
в) $$\sin 2a=\frac{120}{169}, \quad \cos 2a=-\frac{119}{169}, \quad \tg 2a=-\frac{120}{119};$$
г) $$\sin 2a=-\frac{24}{25}, \quad \cos 2a=\frac{7}{25}, \quad \tg 2a=-\frac{24}{7}.$$
